Closed Form

닫힌 형태(closed form)란 방정식(equation)의 해(solution)를 해석적(analytic)으로 표현할 수 있는 종류의 문제를 말한다. 즉, 닫힌 형태를 가지는 방정식의 해는 변수(variable), 상수(constant), 사칙연산( +−×÷), 그리고 잘 알려진 기본 함수(삼각함수, 로그함수, 제곱근 등) 등을 조합해서 “해 = …” 꼴로 표현될 수 있다. 대표적인 닫힌 형태 해(closed form solution)의 예로는 2차 방정식의 근의 공식을 들 수 있다.

닫힌 형태(closed form)의 반대 개념으로 열린 형태(open form)라는 것도 있다. 열린 형태란 유한 개(finite)의 수학적 표현을 사용해서 정확하게 해를 표현할 수 없는 문제를 말한다. 이와 같이 주어진 문제가 열린 형태여서 명확한 해가 존재하지 않을 경우에는 컴퓨터를 이용한 수치해석 기법으로 근사해(approximation)을 구할 수 있다. 수치해석으로 근사해를 구하는 기법은 다양하지만 대부분의 방식들이 반복적으로 조금씩 해에 접근해 가는 iterative method 범주에 속한다. 따라서, 일반적으로 닫힌 형태의 문제가 열린 형태의 문제보다 답을 빠르고 정확하게 구할 수 있다.

정리하면 닫힌 형태의 문제란 주어진 문제를 수학적으로 잘 formulation해서 해석적인 해가 존재하는 형태의 방정식으로 바꿨다는 의미로 이해를 하면 된다.

선형 회귀(linear regression) 문제의 답을 최소제곱법(least square)으로 구하는 것도 닫힌 형태의 문제로 볼 수 있다. 최소제곱법을 푸는 수치해석 방식 중에 iterative method들도 있지만, 이 경우에도 해 자체는 “해 = …” 꼴로 표현할 수 있기 때문에 닫힌 형태의 문제로 볼 수 있다.

닫힌 형태를 가지는 공학 문제들은 결국 Ax=b 꼴의 행렬 방정식을 푸는 문제로 귀결되는데, 이 때 system matrix인 A의 eigenvalue와 eigenvector를 이용하면 해의 특성을 분석하고 예측하는데 도움이 된다.

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