“(음수) × (음수) = (양수)”가 되는 이유

첫째 딸에게 수학을 가르치면서 당연하게 생각했던 사실들에 대해 왜 그런지 이유를 생각하게 되는 경우가 많다. 오늘 받은 질문은 “두 음수 끼리의 곱은 왜 양수가 되는가?”이다. 생각해보니 이것에 대해서 심각하게 고민을 해본 적이 없었던 것 같다. 그저 당연한 사실로 받아들였던 것 같다. 다만, −는 부호가 반대로 뒤집히는 것을 의미하기 때문에 −의 −는 부호가 두 번 뒤집히면서 원래의 부호가 된다는 정도로 이해를 하고 넘어갔던 것 같다.

초등학교 수학을 딸에게 직접 가르치면서 곱셈은 같은 수를 여러 번 더하는 것을 편리하게 처리하기 위해 사용하는 개념이라고 설명했었다. “2×3: 2개씩 3묶음”이라는 묶어세기의 개념으로 딸에게 설명했다. 수직선 상에서는 원점으로부터 2개씩 3번 오른쪽으로 건너뛰기(=점프) 하는 개념으로 이해할 수 있다고 설명을 하기도 했다.

이런 개념으로 (−2) × (−3) 를 이해하려고 했더니 “−2개”와 “−3묶음” 이라는 것이 와닿지 않는다고 했다. 이것은 나에게도 와닿지 않았다. 그래서 설명을 할 수 있는 방법을 생각을 해보았다.

다음과 같은 네 가지 경우에 대해서 차례대로 생각을 해보자.
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (−1) = (−1)
(−1) × (+1) = (−1)
(−1) × (−1) = (+1)

우선 “(+1) × (+1)”은 한 개씩 한 묶음이기 때문에 결과는 1이 된다. 이것은 어렵지 않게 이해할 수 있다.

(좌변)과 (우변)에 같은 수를 곱해도 여전히 등식이 성립하기 때문에 “(+1) × (+1) = (+1)”의 (양변)에 ◼︎를 곱하면 “◼︎ × 1 = ◼︎”가 되는 것을 알 수 있다. 즉, 어떠한 수에 1을 곱하면 원래의 수가 되는 것을 알 수 있다.

이러한 사실로부터 “(−1) × (+1) = (−1)”이 된다. 이것은 위에서 “◼︎ = −1″인 특수한 경우이다.

곱하기는 순서에 상관없이 결과가 같기 때문에 (‘2개씩 3묶음 = 3개씩 2묶음’이기 때문에) “(+1) × (−1) = (−1)”이 되는 것도 이해할 수 있다.

“(+1) × (−1) = (−1)”의 (양변)에 ◼︎를 곱하면”(+◼︎) × (−1) = (−◼︎)”가 되는 것을 알 수 있다. 즉, 어떤 수에 −1를 곱하면 결과는 그 수의 부호가 바뀐 형태가 된다.

따라서, “(−1) × (−1)”은 위에서 “◼︎ = −1″인 경우이기 때문에 결과는 (−1)의 부호가 바뀐 (+1)이라고 이해를 할 수 있다.

좀 더 수학적인 증명이 필요하다면 다음과 같이 생각할 수도 있다.

0
= (−1) × 0
= (−1) × { (+1) + (−1) }
= { (−1) × (+1) } + { (−1) × (−1) }
= (−1) + { (−1) × (−1) }

(양변)에 (+1)을 해주면

1
= (+1) + (−1) + { (−1) × (−1) }
= { (+1) + (−1) } + { (−1) × (−1) }
= 0 + { (−1) × (−1) }
= (−1) × (−1)

이므로 (−1) × (−1) = (+1) 이 되는 것을 알 수 있다.

(양변)에 임의의 수를 곱해도 여전히 등식은 성립하므로, (−2) × (−3) = (+6) 등으로 확장이 가능하다.

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